Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели»

^ Группа V. Теорема параллельности.
Пусть а — случайная ровная, а А—точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует менее одной прямой, проходящей через А и не пере Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели»­секающей а, эта теорема эквивалентна V постулату Евклида.

На базе всех аксиом групп I—V можно выстроить теорию па­раллельных прямых по Евклиду, обосновать аксиомы о сумме углов треугольника и Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» выпуклого многоугольника, изучить характеристики парал­лелограммов и трапеций, выстроить теорию подобия и т. д. Заметим еще, что теоремы групп I—V позволяют доказать обыденную триго­нометрию, изучаемую в средней школе, также Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» декартову анали­тическую геометрию. А именно, пользуясь аксиомой Пифагора, для подтверждения которой нужно использовать теорему V, вы­водится популярная формула для вычисления расстояния меж 2-мя точками по координатам этих точек. Не считая того Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели», доказывается, что плоскость в пространстве определяется уравнением первой сте­пени, а ровная — системой 2-ух уравнений с 3-мя переменными. Таким макаром, предоставляется возможность приложить алгебру к до­казательству теорем геометрии.

Отмечу, пользуясь теоремами групп I Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели»—V, мож­но ввести понятия площади многоугольника и объема многогран­ника.

Геометрию, построенную на теоремах групп I—IV, именуют абсолютной геометрией. Вышеуказанные аксиомы и определения являются аксиомами абсолютной геометрии.
^ V. Теорема Лобачевского Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели». Параллельные прямые по Лобачевскому.

1. Геометрия Лобачевского (либо гиперболическая геометрия) осно­вана на теоремах групп I—IV абсолютной геометрии и на последующей теореме Лобачевского.

V*. Пусть а — случайная ровная, а A Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и пря­мой а, существует более 2-ух прямых, проходящих через точ­ку А и не пересекающих прямую а.



рис 1 рис 2

Из теоремы Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» V* конкретно следует, что если даны случайная ровная а и точка А, не лежащая на ней, то существует беско­нечное огромное количество прямых, проходящих через точку А и не пересе­кающих прямую Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» а. По правде, по теореме V* есть две пря­мые, которые обозначим через b и с, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 1). Прямые b и с образуют Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» две пары вертикальных углов, которые на рисунке 2 обозначены циф­рами 1, 2 и 3, 4. Ровная а не пересекает прямые b и с, потому все ее точки принадлежат внутренней области 1-го из 4 углов 1, 2, 3, 4, к Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» примеру внутренней области угла 1. Тогда, разумеется, лю­бая ровная, проходящая через точку А и лежащая снутри верти­кальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (к примеру, прямые L и d на рис Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели». 1).

Условимся считать, что все пря­мые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми. Потому мы их будем обозначать 2-мя знаками, к примеру UV, счи­тая, что точка U предшествует точке V. Подразумевается также, что точки U и Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» V выбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат меж точками U и V.

2. Введем последующее определение. Ровная АВ именуется па­раллельной прямой CD, если эти прямые не имеют Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, хоть какой внутренний луч1 угла QPB пересекает луч QD (рис. 2). Если ровная АВ параллельна Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» прямой CD, то пишут так: AB||CD.

Имеет место последующий признак параллельности прямых.

Аксиома 1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и есть точки Р и Q, такие, что Р Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» АВ и Q CD, и хоть какой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD.

Для подтверждения аксиомы довольно установить, что, ка­ковы бы ни были точки Р' и Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» Q', лежащие соответственно на прямых АВ и CD, хоть какой внутренний луч h угла Q'P'B пересекает луч Q'D. Вероятны три варианта: точка Р' совпадает с точкой Р; б) точка Р Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели»' принадлежит лучу РА; в) точка Р' принадлежит лучу РВ.

Разглядим 1-ые два варианта,

а) Точка Р' совпадает с точкой Р. Если Q' — точка
луча QC, то Q'P'B является объединением углов Q Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели»'PQ и QPB, по­
этому луч h или лежит снутри угла Q'P'Q, или совпадает с лу­чом PQ, или лежит снутри угла QPB (рис. 3 а). В первом и Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» во
втором случаях луч h пересекает отрезок Q'Q, потому пересекает
и луч Q'Q. В 3-ем случае луч h по условию аксиомы пересекает
луч QD и, как следует, луч Q'D.

Если Q' — точка луча Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» QD, то угол Q'P'B является частью уг­ла QPB (рис. 3, б). Потому луч h является внутренним лучом угла QPB и по условию аксиомы пересекает луч QD. Точка пересе­чения является точкой луча Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» Q'D, потому что h не проходит снутри угла QPQ' и потому не пересекает отрезок QQ'.

б) Точка Р' принадлежит лучу РА. Луч h лежит
снутри угла Q'P'P, потому h пересекает Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» отрезок PQ' в некой
точке М (рис. 4). Отложим от луча РВ в полуплоскость, содержа­щую прямую CD, угол ВРМ', равный углу РР'М. Потому что BPQ' —
наружный угол треугольника PP'Q Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели»', то PP'Q' < LBPQ', потому
РР'М < BPQ'. Отсюда следует, что РМ' — внутренний луч
угла BPQ'. Как следует, по доказанному (см. случай а) ) этот
луч пересекает луч Q'D в некой точке Mi (рис. 4). Ровная Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» Р'М
пересекает сторону PQ' треугольника PQ'M\ и не пересекает сторо­
ну РМ\ (потому что ВРМ1 = BP'M), потому по теореме Паша
ровная Р'М пересекает отрезок Q'М1. Таким макаром, луч Группа V. Аксиома параллельности - Работа на тему: «Геометрия Лобачевского и ее модели» h пересе­кает луч Q'D. Чтд.


















Рис 3 а Рис.3 б







Рис. 4




grizlov-b-v-monitoring-smi-22-24.html
grizlov-b-v-monitoring-smi-9-12.html
grizlov-kritikuet-novih-opponentov-vozglavlyaemoj-im-partii-edinaya-rossiya-boris-grizlov-monitoring-smi-5-dekabrya-2006-g.html