Гриненко Николай Иванович

РОСЖЕЛДОР

Государственное образовательное учреждение

Высшего проф образования

«Ростовский муниципальный институт путей сообщения»

(РГУПС)

Н.И. Гриненко, С.В. Соколов, В.Н. Прокопец

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ

ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИКИ, ТЕЛЕМЕХАНИКИ И СВЯЗИ

Методические указания

К практическим занятиям по дисциплине

«Основы теории надежности»

Ростов-на-Дону

УДК 656.256

Гриненко, Н.И.

Расчет надежности восстанавливаемых резервированных систем автоматики, телемеханики и связи: методические указания к практическому Гриненко Николай Иванович занятию по дисциплине: «Основы теории надежности» /Н.И.Гриненко, С.В. Соколов, В.Н. Прокопец; Рост. гос. ун-т путей сообщения. – Ростов на дону н/Д, 2005. – 16 с. : ил.

Излагаются цель практического занятия, базы теории и методика расчета надежности восстанавливаемых резервированных систем АТС. Приводятся задачки для расчета надежности восстанавливаемых систем с Гриненко Николай Иванович неизменным общим резервированием и с общим резервированием методом замещения, также контрольные вопросы.

Методические указания написаны в соответствие с учебной программкой по дисциплине «Основы теории надежности» и созданы для студентов специальности 190402 «Автоматика, телемеханика и связь на ж.-д. транспорте».

Рецензент канд. техн. наук, доц. В.Н. Соловьев (РФ МГТУГА)

© Ростовский Гриненко Николай Иванович муниципальный институт

путей сообщения, 2005

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

ТЕМА ЗАНЯТИЯ: РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ

РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИКИ,

ТЕЛЕМЕХАНИКИ И СВЯЗИ

1 ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЯ

1.1 Закрепить теоретические познания по расчету надежности восстанавливаемых резервированных систем.

1.2 Получить практические способности в решении задач по расчету надежности восстанавливаемых резервированных систем.

2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ Базы

Процесс функционирования восстанавливаемой системы является марковским случайным процессом с дискретными состояниями Гриненко Николай Иванович, другими словами дискретным случайным процессом. Случайный процесс именуется дискретным, если его состояния можно пронумеровать и переход из состояния в состояние происходит скачком [1, 2].

Для примера разглядим восстанавливаемую систему, в какой употребляется неизменное общее резервирование с кратностью резервирования m, равной единице (дублированную систему). Структурная схема надежности (ССН) таковой системы будет Гриненко Николай Иванович иметь последующий вид:

Рис. 1. ССН системы с неизменным общим резервированием кратности m=1

При всем этом будем считать, что основная и запасная системы являются схожими и равнонадежными, другими словами

Росн(t)= Ррез(t)= Р(t).

При этом надежность этих систем имеет показательный закон, другими словами
Р(t)=е -λ·t – возможность неотказной работы Гриненко Николай Иванович основной либо запасной системы.


Рв(t)=1-е-μ·t – возможность восстановления работоспособного состояния основной либо запасной системы.

Состояния резервированной восстанавливаемой системы показываются подходящим графом состояний.

На рис. 2 изображен граф состояний рассматриваемой системы.

Рис. 2. Граф состояний восстанавливаемой системы с неизменным общим резервированием кратности m=1

Состояния системы на графе означают:

G Гриненко Николай Иванович0 – основная и запасная система работоспособны;

G1 – одна из систем (основная либо запасная) отказала, а 2-ая работоспособна;

G2 – основная и запасная системы отказали; резервированная система неработоспособна.

Вероятности нахождения резервированной системы в соответственных состояниях обозначены последующим образом: Р0(t), Р1(t), Р2(t). Переход системы из 1-го состояния в другое происходит под Гриненко Николай Иванович воздействием потоков отказов с интенсивностью λ и потоков восстановлений с интенсивностью μ.

Дуге, идущей из состояния G0 в состояние G1, приписано значение интенсивности отказов, равное 2λ, потому что в состоянии G0 работают две системы и отказать может либо основная система с интенсивностью λ, либо запасная система с таковой же интенсивностью λ.

Дуге, идущей из Гриненко Николай Иванович состояния G2 в состояние G1, приписано значение интенсивности восстановления 2μ, что значит условие неограниченного восстановления: сразу могут восстанавливаться обе отказавшие системы (и основная, и запасная). В данном случае сразу работают две бригады ремонтников.

В общем случае вид графа состояний резервированной восстанавливаемой системы находится в зависимости от последующих причин:

1) от метода Гриненко Николай Иванович структурного резервирования;

2) от кратности резервирования m;

3) от режима восстановления (неограниченное либо ограниченное).

Для примера приведем три графа состояний резервированных восстанавливаемых систем с m=1, учитывающих перечисленные причины, которые определяют вид графа состояний (рис. 3).

в)
б)
а)

Рис. 3. Графы состояний дублированных систем

На рис. 3, а представлен граф состояний системы с неизменным Гриненко Николай Иванович общим резервированием и с ограниченным восстановлением (сразу восстанавливается с интенсивностью μ только одна из отказавших систем).

На рис. 3, б изображен граф состояний системы с общим резервированием методом замещения и неограниченным восстановлением.

На рис. 3, в показан граф состояний системы с общим резервированием методом замещения и ограниченным восстановлением.

Структурная схема надежности системы с неизменным общим Гриненко Николай Иванович резервированием с кратностью резервирования m=2 приведена на рис. 4, а её граф состояний – на рис. 5.

Рис. 4. ССН системы Рис. 5. Граф состояний системы,

с неизменным общим изображенной на рис. 4

резервированием

кратности m=2

Состояния на графе имеют последующий смысл:

G0 – основная и две запасные системы работоспособны;

G1 – одна из систем Гриненко Николай Иванович (основная либо запасная) отказала, а другие две системы работоспособны;

G2 – отказали две из 3-х систем, а одна система работоспособна;

G3 – отказали основная и обе запасные системы.

Значение 3μ значит, что эта система является системой с неограниченным восстановлением (работают сразу три ремонтные бригады).

Значение 3λ соответствует тому, что могут отказать: либо основная, либо Гриненко Николай Иванович одна из запасных систем, либо другая.

Случайный дискретный процесс именуется марковским, если для хоть какого момента времени t вероятности всех состояний системы в дальнейшем зависят только от ее состояния в реальном и не зависят от того, когда и как эта система перебежала в это состояние.

Если потоки отказов и восстановлений Гриненко Николай Иванович, переводящие систему из состояния в состояние являются простыми и без последствия, другими словами пуассоновскими, то случайный процесс есть марковский.

Марковский случайный процесс описывается системой линейных дифференциальных уравнений, которую предложил академик А.Н. Колмогоров. Дифференциальные уравнения для хоть какой восстанавливаемой резервированной системы по известному графу составляются по последующим правилам Гриненко Николай Иванович:

1) число дифференциальных уравнений равно числу состояний графа;

2) производная вероятности нахождения системы в каком-либо состоянии равна алгебраической сумме такового числа слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием;

3) каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока событий (отказов либо восстановлений), переводящей систему по данной стрелке, на возможность того состояния, из которого исходит стрелка Гриненко Николай Иванович;

4) слагаемое имеет символ «-» , если стрелка исходит из данного состояния; и символ «+», если стрелка ориентирована в данное состояние.

Запишем систему дифференциальных уравнений для графа, представленного на рис. 2:

(1)

Данная система уравнений (1) решается либо численными способами, либо с внедрением преобразований Лапласа. Переменными в системе уравнений (1), которые нужно отыскать, являются вероятности нахождения системы в Гриненко Николай Иванович состояниях Рi (t) (i=0, 1, 2).

Систему дифференциальных уравнений (1) можно привести к системе линейных алгебраических уравнений, если пользоваться предельной аксиомой А.А. Маркова. Сформулируем эту аксиому.

Если все интенсивности потоков событий (λ и μ) постоянны, а граф состояний такой, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое состояние за конечное Гриненко Николай Иванович число шагов, то предельные вероятности состояний есть и не зависят от исходного состояния системы.

В согласовании с этой аксиомой при t→∞ вероятности нахождения системы в неотказных состояниях Р0(t), Р1(t) будут равны нулю, другими словами (i=0,1), а возможность нахождения системы в состоянии отказа (G2) будет равна единице, другими словами . Потому Гриненко Николай Иванович производные в левых частях уравнений системы (1) можно приравнять к нулю. Тогда получим систему линейных алгебраических уравнений последующего вида:

(2)

Германский математик Гаусс обосновал, что система линейных уравнений тогда имеет решение, когда все уравнения, входящие в систему, являются линейно независящими. Это значит, что ни одно из уравнений системы (2) не может являться Гриненко Николай Иванович суммой каких-либо других уравнений, входящих в эту систему. Приобретенная система уравнений (2) является линейно зависимой. К примеру, если сложим 1-ое и 2-ое уравнения, то с точностью до символов получим третье уравнение; сумма второго и третьего даст 1-ое уравнение; сумма первого и третьего даст 2-ое уравнение. В связи с Гриненко Николай Иванович этим исключим из системы уравнений (2) 2-ое уравнение и добавим в систему (2) нормировочное уравнение вида:

Р0(t)+ Р1(t)+ Р2(t)=1.

Тогда система линейно независящих уравнений (2) воспримет вид:

(3)

Р0(t)+ Р1(t)+ Р2(t)=1.

(4)
Система уравнений (3) имеет решение и решается с внедрением правила Крамера последующим образом: возможность нахождения системы в i Гриненко Николай Иванович-м состоянии определяется отношением определителей

,

где i = 0, 1, 2;

D – определитель, составленный из коэффициентов системы уравнений (3) при переменных Pi(t);

Di – определитель, в каком i-й столбец в определителе D заменяется столбцом свободных членов.

Для рассматриваемого примера получим

P0 P1 P2
P0 P1 P2


;
;

P0 P1 P2
P0 P1 P Гриненко Николай Иванович2


.
;

Вычисление приобретенных определителей третьего порядка не вызывает затруднений. При помощи ЭВМ доступно и стремительно рассчитываются определители больших порядков.

Неотказными состояниями в рассматриваемой системе являются G0 и G1; состояние отказа – G2. Для восстанавливаемых резервированных систем показателями надежности являются всеохватывающие характеристики, другими словами коэффициенты готовности kг и простоя kп. После вычисления вероятностей Гриненко Николай Иванович Pi(t) по формуле (4) определяют численные значения коэффициента готовности

kг= Р0(t)+ Р1(t),

который оценивает возможность нахождения системы в работоспособном состоянии, и коэффициента простоя

kп= Р2(t), либо kп=1- kг,

определяющего возможность нахождения системы в режиме восстановления.

На завершающем шаге расчета осуществляется сопоставление вычисленного значения коэффициента готовности с данным значением в Гриненко Николай Иванович соответствие с неравенством:

kг≥ kг зад . (5)

Если неравенство (5) не производится, то наращивают кратность резервирования m на единицу и расчет надежности проводится повторно.

Методика решения задачки расчета надежности восстанавливаемых резервированных систем последующая.

В качестве начальных данных при расчете задаются:

1) метод резервирования и кратность резервирования m;

2) данное значение коэффициента Гриненко Николай Иванович готовности kг зад;

3) метод восстановления работоспособного состояния системы (ограниченное либо неограниченное восстановление).

Требуется вычислить значение коэффициента готовности kг и сопоставить его с данным значением.

Решение данной задачки делается в последующей последовательности:

1) изображаем ССН и граф состояний системы;

2) записываем систему линейных алгебраических уравнений вида (2);

3) приводим систему уравнений (2) к системе линейных независящих Гриненко Николай Иванович уравнений (3);

4) составляем определители D и Di (i=0, 1, 2);

5) вычисляем вероятности нахождения системы в i-х состояниях Pi(t) по формуле (4);

6) вычисляем коэффициент готовности kг как сумму вероятностей нахождения системы в работоспособных состояниях;

7) производим сопоставление вычисленного значения kг с данным значением kг зад. При невыполнении неравенства (5) кратность резервирования m увеличиваем на Гриненко Николай Иванович единицу и повторяем вычисление коэффициента kг.

3 ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ

3.1 Задачки №№ 1 и 2 студенты решают попеременно у доски под руко-водством педагога.

3.2 Задачку № 3 студенты решают без помощи других.

4 СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЯ

Задачка № 1. Система автоматики имеет неизменное общее резервирование кратности m=1 (рис. 1), граф состояний которой изображен на рис. 2. Среднее время выработки до отказа нерезервированной Гриненко Николай Иванович системы равно Т0=1000 ч., а среднее время восстановления Тв=10 ч. Вычислить:

– значения интенсивностей отказов λ и восстановлений μ;

– значения определителей D, D0, D1, D2 и вероятностей нахождения системы в соответственных состояниях P0(t), P1(t), P2(t);

– значение коэффициента готовности kг.

Данное значение коэффициента готовности равно kг.зад = 0,999.

Решение

1. Определяем значение интенсивностей отказов и Гриненко Николай Иванович восстановлений нерезервированной системы:

1/ч;

1/ч.

2. Вычисляем значения определителей, приобретенных выше:

P0 P1 P2


P0 P1 P2


P0 P1 P2


P0 P1 P2


3. Вычисляем вероятности Pi(t) (i=0,1,2) нахождения резервированной системы в состояниях G0, G1, G2:

4. Вычисляем коэффициент готовности резервированной системы:

kг=P0(t)+P1(t)=0,980296+0,019605=0,999901.

Вывод: Вычисленное значение коэффициента готовности Гриненко Николай Иванович kг=0,999901, определяющего возможность нахождения системы в работоспособном состоя­нии, больше данного значения kг.зад=0,999. Потому кратность резервирова­ния m=1 является достаточной.

Задачка № 2. Система телеуправления движением поездов имеет общее резервирование замещением кратности m=1. Интенсивность отказов нерезерви­рованной системы равна λ=0,001 1/ч., а интенсивность восстановления
μ=0,1 1/ч. Нужно вычислить коэффициент Гриненко Николай Иванович готовности резервированной системы kг, если данное значение коэффициента готовности равно kг.зад=0,999, а вос­становление работоспособного состояния системы является ограниченным.

Решение

1. Чертим структурную схему надежности резервированной системы (рис. 6)

Рис. 6

2. Чертим граф состояний системы (см. рис. 3,в)

3. С внедрением приобретенного графа состояний системы записываем систему линейных алгебраических уравнений по обозначенным выше правилам:

(6)

Приобретенная Гриненко Николай Иванович система уравнений (6) является линейно зависимой.

4. Приводим систему уравнений (6) к системе линейно независящих уравнений методом исключения второго уравнения и прибавления нормировочного уравнения:


(7)

5. Используя систему уравнений (7), составляем и вычисляем определи­тели D и Di (i=0, 1, 2):

P0 P1 P2

P0 P1 P2


P0 P1 P2


P0 P1 P2


6. Вычисляем вероятности нахождения резервированной системы Гриненко Николай Иванович в соответственных состояниях G0, G1, G2:

7. Вычисляем коэффициент готовности:

kг=P0(t)+P1(t)=0,990000+0,009900=0,9999.

Выводы:

1. Вычисленное значение коэффициента готовности превосходит данное значение. Как следует, кратность резервирования m=1 является достаточной.

2. Сравнивая вычисленные значения коэффициентов готовности в задачках № 1 и № 2, замечаем, что надежность рассмотренных систем приблизительно схожа.

Задачка № 3. Аппаратура электропитания систем Гриненко Николай Иванович автоматики и телемеханики имеет общее резервирование замещением кратности m=2. Вычислить коэффициент готовности резервированной системы kг, если:

– данное значение коэффициента готовности равно kг.зад=0,9999;

– восстановление работоспособного состояния системы ограниченное;

– интенсивность отказов λ=0,01 1/ч.;

– интенсивность восстановления μ=0,2 1/ч.

Задачку решить без помощи других.

5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие системы именуют восстанавливаемыми?

2. Какие характеристики безотказности употребляются для Гриненко Николай Иванович расчета надежности восстанавливаемых резервированных систем?

3. Дайте понятие Марковского случайного дискретного процесса.

4. Сформулируйте предельную аксиому Маркова.

5. Перечислите правила составления системы линейных уравнений для восстанавливаемой резервированной системы по ее графу состояний.

6. Какая система линейных уравнений именуется линейно зависимой?

7. Каким образом можно конвертировать систему линейно зависимых уравнений в систему линейно независящих уравнений Гриненко Николай Иванович?

8. Какие начальные данные задаются при решении задач по расчету коэффициента готовности для восстанавливаемых резервированных систем?

9. Какова последовательность решения задачки по расчету коэффициента готовности для восстанавливаемых резервированных систем?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ Перечень

1. Гнеденко, Б.В. Математические способы в теории надежности / Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев. – М. : Наука, 1965. – 524 с.

2. Сапожников, В Гриненко Николай Иванович.В. Надежность систем жд автоматики, телемеханики и связи / В.В. Сапожников, Вл.В. Сапожников, В.И. Шаманов; под ред. Вл.В. Сапожникова. – М. : Маршрут, 2003. – 263 с.

3. Дружинин, Г.В. Надежность автоматических систем / Г.В. Дружинин. – М. : Энергия, 1977. – 536 с.

4. Лонгботтом, Р. Надежность вычислительных систем / Р. Лонгботтом. – М. : Энергоатомиздат, 1985. – 288 с.

5. Надежность Гриненко Николай Иванович и живучесть систем связи / под ред. Б.Я. Дудника. – М. : Радио и связь, 1989. – 216 с.

6. Ягудин, Р.Ш. Надежность устройств жд автоматики и телемеханики / Р.Ш. Ягудин. – М. : Транспорт, 1989. – 150 с.

7. Гриненко, Н.И. Расчет надежности устройств автоматики, телемеханики и связи: методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Основы теории Гриненко Николай Иванович надежности» / Н.И. Гриненко, А.И. Кирюнин; Рост. гос. ун-т путей сообщения. – Ростов на дону н/Д, 2003. – 52 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1 Цель занятия…..…………………………………………………………..……... 3

2 Теоретические базы…………………………………………………….…….. 3

3 Порядок проведения занятия……………………………………………..…….. 9

4 Содержание занятия……………………………………………………………... 9

5 Контрольные вопросы………………………………………………….………. 13

6 Библиографический перечень……………………………………………………. 14


Учебное издание

Гриненко Николай Иванович


grudnaya-stenka-molochnaya-zheleza-28-glava.html
grudnaya-stenka-molochnaya-zheleza-4-glava.html
grudnaya-stenka-molochnaya-zheleza-9-glava.html